Математический анализ Примеры

$y = \log_{7} (x^{4} + x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log_{7} (x)$ и $g (x) = x^{4} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4} + x$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{7} (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + x]$

Этап 1.2

Производная $\log_{7} (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u \ln (7)}$ .

$\frac{1}{u \ln (7)} \frac{d}{d x} [x^{4} + x]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4} + x$ .

$\frac{1}{(x^{4} + x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [x^{4} + x]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{4} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(x^{4} + x) \ln (7)} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{(x^{4} + x) \ln (7)} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{(x^{4} + x) \ln (7)} (4 x^{3} + 1)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{4} \ln (7) + x \ln (7)} (4 x^{3} + 1)$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x^{4} \ln (7) + x \ln (7)} (4 x^{3} + 1)$ .

$(4 x^{3} + 1) \frac{1}{x^{4} \ln (7) + x \ln (7)}$