Математический анализ Примеры

$y = \frac{\sin (3 x)}{\tan (x)}$

Этап 1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]$

Этап 2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x) \cos (x)}{\sin (x)}]$

Этап 3

Переведем $\frac{\sin (3 x) \cos (x)}{\sin (x)}$ в $\sin (3 x) \cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \cot (x)]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (3 x)$ и $g (x) = \cot (x)$ .

$\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Этап 5

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Этап 6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 6.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)$

Этап 7.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) \cdot 3$

Этап 7.3.2

Перенесем $3$ влево от $\cot (x) \cos (3 x)$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + 3 \cdot (\cot (x) \cos (3 x))$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Изменим порядок членов.

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Этап 8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$- {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Этап 8.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Этап 8.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Этап 8.2.4

Объединим $\sin (3 x)$ и $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Этап 8.2.5

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + 3 \cos (3 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 8.2.6

Умножим $3 \cos (3 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

Объединим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ и $3$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)} \cos (3 x)$

Этап 8.2.6.2

Объединим $\frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)}$ и $\cos (3 x)$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3 \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Этап 8.2.7

Перенесем $3$ влево от $\cos (x)$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Этап 8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Этап 8.3.2

Разделим дроби.

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\sin (x)}) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Этап 8.3.3

Перепишем $\frac{\sin (3 x)}{\sin (x)}$ в виде произведения.

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Этап 8.3.4

Запишем $\sin (3 x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\frac{\sin (3 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Этап 8.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Разделим $\sin (3 x)$ на $1$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Этап 8.3.5.2

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \csc (x))) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Этап 8.3.6

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$- (\csc (x) (\sin (3 x) \csc (x))) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Этап 8.3.7

Умножим $\csc (x) (\sin (3 x) \csc (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.1

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$- (\csc^{1} (x) \csc (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Этап 8.3.7.2

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$- (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Этап 8.3.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- ({\csc (x)}^{1 + 1} \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Этап 8.3.7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- (\csc^{2} (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Этап 8.3.8

Разделим дроби.

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + \frac{3 \cos (3 x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 8.3.9

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + \frac{3 \cos (3 x)}{1} \cot (x)$

Этап 8.3.10

Разделим $3 \cos (3 x)$ на $1$ .

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$