Математический анализ Примеры

$y = \sin^{5} (\cos (3 x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = \sin (\cos (3 x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (\cos (3 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (\cos (3 x))]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (\cos (3 x))]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (\cos (3 x))$ .

$5 \sin^{4} (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (\cos (3 x))]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (3 x)$ .

$5 \sin^{4} (\cos (3 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Этап 2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$5 \sin^{4} (\cos (3 x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (3 x)$ .

$5 \sin^{4} (\cos (3 x)) (\cos (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $3 x$ .

$5 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 3.2

Производная $\cos (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $- \sin (u_{3})$ .

$5 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $3 x$ .

$5 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 4.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Умножим $3$ на $- 5$ .

$- 15 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 15 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) \sin (3 x) \cdot 1$

Этап 4.5

Умножим $- 15$ на $1$ .

$- 15 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) \sin (3 x)$