Математический анализ Примеры

$y = \frac{\tan (2 x) - e^{x}}{3 x - 4}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \tan (2 x) - e^{x}$ и $g (x) = 3 x - 4$ .

$\frac{(3 x - 4) \frac{d}{d x} [\tan (2 x) - e^{x}] - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 2

По правилу суммы производная $\tan (2 x) - e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{(3 x - 4) (\frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{(3 x - 4) (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(3 x - 4) (\sec^{2} (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \cdot \sec^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) \frac{d}{d x} [3 x - 4]}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

По правилу суммы производная $3 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 6.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 6.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (3 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 6.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) (3 + 0)}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 6.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - (\tan (2 x) - e^{x}) \cdot 3}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 6.6.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 3 (\tan (2 x) - e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Развернем $(3 x - 4) (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 7.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x (2 \sec^{2} (2 x)) + 3 x (- e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x) - e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 7.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x (2 \sec^{2} (2 x)) + 3 x (- e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 \cdot 2 x \sec^{2} (2 x) + 3 x (- e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) + 3 x (- e^{x}) - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) + 3 \cdot - 1 x e^{x} - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 4 (2 \sec^{2} (2 x)) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2.5

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) - 4 (- e^{x}) - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2.6

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) + 4 e^{x} - 3 \tan (2 x) - 3 (- e^{x})}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) + 4 e^{x} - 3 \tan (2 x) + 3 e^{x}}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Добавим $4 e^{x}$ и $3 e^{x}$ .

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 x e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) + 7 e^{x} - 3 \tan (2 x)}{{(3 x - 4)}^{2}}$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$\frac{6 x \sec^{2} (2 x) - 3 e^{x} x + 7 e^{x} - 8 \sec^{2} (2 x) - 3 \tan (2 x)}{{(3 x - 4)}^{2}}$