Математический анализ Примеры

$y = \frac{\sinh (2 x)}{\cosh (2 x) - 5}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \sinh (2 x)$ и $g (x) = \cosh (2 x) - 5$ .

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) \frac{d}{d x} [\sinh (2 x)] - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sinh (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) (\frac{d}{d u_{1}} [\sinh (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 2.2

Производная $\sinh (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cosh (u_{1})$ .

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) (\cosh (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) (\cosh (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) (2 \cdot 1) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) \cdot 2 - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Перенесем $2$ влево от $(\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot ((\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x)) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $\cosh (2 x) - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cosh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\frac{d}{d x} [\cosh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cosh (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 4.2

Производная $\cosh (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sinh (u_{2})$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\sinh (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\sinh (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\sinh (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\sinh (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\sinh (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перенесем $2$ влево от $\sinh (2 x)$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (2 \cdot \sinh (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 5.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (2 \sinh (2 x) + 0)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 5.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Добавим $2 \sinh (2 x)$ и $0$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (2 \sinh (2 x))}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 5.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - 2 \sinh (2 x) \sinh (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 6

Возведем $\sinh (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - 2 (\sinh^{1} (2 x) \sinh (2 x))}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 7

Возведем $\sinh (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - 2 (\sinh^{1} (2 x) \sinh^{1} (2 x))}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - 2 {\sinh (2 x)}^{1 + 1}}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 \cosh (2 x) + 2 \cdot - 5) \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cosh (2 x) \cosh (2 x) + 2 \cdot - 5 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 10.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $2 \cosh (2 x) \cosh (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1

Возведем $\cosh (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (\cosh^{1} (2 x) \cosh (2 x)) + 2 \cdot - 5 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 10.3.1.2

Возведем $\cosh (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (\cosh^{1} (2 x) \cosh^{1} (2 x)) + 2 \cdot - 5 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 10.3.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 {\cosh (2 x)}^{1 + 1} + 2 \cdot - 5 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 10.3.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \cosh^{2} (2 x) + 2 \cdot - 5 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 10.3.2

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{2 \cosh^{2} (2 x) - 10 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Этап 10.4

Изменим порядок членов.

$\frac{2 \cosh^{2} (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x) - 10 \cosh (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$