Математический анализ Примеры

$y = \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Этап 2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos^{2} (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Этап 3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Этап 3.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Этап 4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок множителей в $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Этап 4.2

Добавим $2 \cos (x) \sin (x)$ и $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x)$