Математический анализ Примеры

$y = \sin^{2} (e^{3 x + 1})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (e^{3 x + 1})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (e^{3 x + 1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (e^{3 x + 1})]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (e^{3 x + 1})]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (e^{3 x + 1})$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \frac{d}{d x} [\sin (e^{3 x + 1})]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $e^{3 x + 1}$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{3 x + 1}])$

Этап 2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{3 x + 1}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{3 x + 1}$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) (\cos (e^{3 x + 1}) \frac{d}{d x} [e^{3 x + 1}])$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $3 x + 1$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ имеет вид $a^{u_{3}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $3 x + 1$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $3 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 4.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 4.4

Умножим $3$ на $1$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} (3 + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 4.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} (3 + 0))$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} \cdot 3)$

Этап 4.6.2

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x + 1}$ .

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (3 \cdot e^{3 x + 1})$

Этап 4.6.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) e^{3 x + 1}$

Этап 4.6.4

Изменим порядок множителей в $6 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) e^{3 x + 1}$ .

$6 e^{3 x + 1} \cos (e^{3 x + 1}) \sin (e^{3 x + 1})$