Математический анализ Примеры

$y = \arctan (\ln (5 x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = \ln (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Этап 1.2

Производная $\arctan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (5 x)$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 x$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{5 x}$ на $\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)}$ .

$\frac{1}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 3.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))}$ .

$\frac{5}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))} \cdot 1$

Этап 3.5

Умножим $\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))}$ на $1$ .

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x \cdot 1 + x \ln^{2} (5 x)}$

Этап 4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{x + x \ln^{2} (5 x)}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{x \ln^{2} (5 x) + x}$

Этап 4.4

Вынесем множитель $x$ из $x \ln^{2} (5 x) + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln^{2} (5 x)$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x)) + x}$

Этап 4.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x)) + x^{1}}$

Этап 4.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x)) + x \cdot 1}$

Этап 4.4.4

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln^{2} (5 x)) + x \cdot 1$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x) + 1)}$