Математический анализ Примеры

$y = \arctan (\sqrt{3 x})$

Этап 1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x}$ в виде ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(3 x)}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(3 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 1.3

Применим правило умножения к $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.2

Объединим $3^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 10

Умножим $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ на $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{(1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}) \cdot 2}$

Этап 11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перенесем $2$ влево от $1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 11.2

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим правило умножения к $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{(2 \cdot 1 + 2 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} + 2 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.4.2

Перемножим экспоненты в ${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (3^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.4.3

Найдем экспоненту.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (3 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.4.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (3 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.4.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (3 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.4.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (3 x^{1}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.4.5

Упростим.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (3 x) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.4.6

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 6 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.4.7

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.7.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 6 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Этап 12.4.7.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 6 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

Этап 12.4.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 12.4.7.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 12.4.7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 12.4.7.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.5

Изменим порядок членов.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{6 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Вынесем множитель $2 x^{\frac{1}{2}}$ из $6 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1.1

Вынесем множитель $2 x^{\frac{1}{2}}$ из $6 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{2}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.6.1.2

Вынесем множитель $2 x^{\frac{1}{2}}$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{2}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (1)}$

Этап 12.6.1.3

Вынесем множитель $2 x^{\frac{1}{2}}$ из $2 x^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{2}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (1)$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{2}{2}} + 1)}$

Этап 12.6.2

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (3 x^{1} + 1)}$

Этап 12.6.3

Упростим.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (3 x + 1)}$