Математический анализ Примеры

$y = \frac{\tan (x)}{\sqrt{x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\tan (x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Этап 4

Упростим.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 5

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Этап 7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Этап 8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Этап 10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Этап 11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Этап 13

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $\tan (x)$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \tan (x)}{2}}{x}$

Этап 14

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \frac{\tan (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$