Математический анализ Примеры

$y = - x^{3} (3 x^{4} - 2)$

Этап 1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3} (3 x^{4} - 2)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3} (3 x^{4} - 2)]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3} (3 x^{4} - 2)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 3 x^{4} - 2$ .

$- (x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2] + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- (x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- (x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- (x^{3} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.4

Умножим $4$ на $3$ .

$- (x^{3} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- (x^{3} (12 x^{3} + 0) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.6

Добавим $12 x^{3}$ и $0$ .

$- (x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4

Умножим $x^{3}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $x^{3}$ .

$- (x^{3} x^{3} \cdot 12 + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- (x^{3 + 3} \cdot 12 + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.3

Добавим $3$ и $3$ .

$- (x^{6} \cdot 12 + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 5

Перенесем $12$ влево от $x^{6}$ .

$- (12 \cdot x^{6} + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (12 x^{6} + (3 x^{4} - 2) (3 x^{2}))$

Этап 7

Перенесем $3$ влево от $3 x^{4} - 2$ .

$- (12 x^{6} + 3 \cdot (3 x^{4} - 2) x^{2})$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- (12 x^{6} + (3 (3 x^{4}) + 3 \cdot - 2) x^{2})$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- (12 x^{6} + 3 (3 x^{4}) x^{2} + 3 \cdot - 2 x^{2})$

Этап 8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (12 x^{6}) - (3 (3 x^{4}) x^{2}) - (3 \cdot - 2 x^{2})$

Этап 8.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Умножим $12$ на $- 1$ .

$- 12 x^{6} - (3 (3 x^{4}) x^{2}) - (3 \cdot - 2 x^{2})$

Этап 8.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$- 12 x^{6} - (9 x^{4} x^{2}) - (3 \cdot - 2 x^{2})$

Этап 8.4.3

Умножим $x^{4}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 12 x^{6} - (9 (x^{2} x^{4})) - (3 \cdot - 2 x^{2})$

Этап 8.4.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 12 x^{6} - (9 x^{2 + 4}) - (3 \cdot - 2 x^{2})$

Этап 8.4.3.3

Добавим $2$ и $4$ .

$- 12 x^{6} - (9 x^{6}) - (3 \cdot - 2 x^{2})$

Этап 8.4.4

Умножим $9$ на $- 1$ .

$- 12 x^{6} - 9 x^{6} - (3 \cdot - 2 x^{2})$

Этап 8.4.5

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- 12 x^{6} - 9 x^{6} - (- 6 x^{2})$

Этап 8.4.6

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$- 12 x^{6} - 9 x^{6} + 6 x^{2}$

Этап 8.4.7

Вычтем $9 x^{6}$ из $- 12 x^{6}$ .

$- 21 x^{6} + 6 x^{2}$