Математический анализ Примеры

$y = x^{2} + x^{4} e^{- 2 \ln (x)}$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + x^{4} e^{- 2 \ln (x)}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = e^{- 2 \ln (x)}$ .

$2 x + x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- 2 \ln (x)}] + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 2 \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 \ln (x)$ .

$2 x + x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 x + x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 \ln (x)$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \ln (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)])) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{1}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{1}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Этап 2.6

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x}$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} \frac{- 2}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- \frac{2}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Этап 2.8

Объединим $e^{- 2 \ln (x)}$ и $\frac{2}{x}$ .

$2 x + x^{4} (- \frac{e^{- 2 \ln (x)} \cdot 2}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Этап 2.9

Перенесем $2$ влево от $e^{- 2 \ln (x)}$ .

$2 x + x^{4} (- \frac{2 \cdot e^{- 2 \ln (x)}}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Этап 2.10

Объединим $x^{4}$ и $\frac{2 e^{- 2 \ln (x)}}{x}$ .

$2 x - \frac{x^{4} (2 e^{- 2 \ln (x)})}{x} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Этап 2.11

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4} (2 e^{- 2 \ln (x)})$ .

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Этап 2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x^{1}} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Этап 2.11.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Этап 2.11.2.3

Сократим общий множитель.

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Этап 2.11.2.4

Перепишем это выражение.

$2 x - \frac{x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})}{1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Этап 2.11.2.5

Разделим $x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})$ на $1$ .

$2 x - (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Этап 2.12

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x - 2 (x^{3} (e^{- 2 \ln (x)})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Этап 2.13

Добавим $- 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ и $e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Перенесем $e^{- 2 \ln (x)}$ .

$2 x - 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)} + 4 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$

Этап 2.13.2

Добавим $- 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ и $4 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ .

$2 x + 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок членов.

$2 e^{- 2 \ln (x)} x^{3} + 2 x$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{- 2 \ln (x)} x^{3} + 2 x$ .

$2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)} + 2 x$