Математический анализ Примеры

$y = x^{3} \ln (10 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \ln (10 x)$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (10 x)] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 10 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $10 x$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [10 x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$x^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [10 x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $10 x$ .

$x^{3} (\frac{1}{10 x} \frac{d}{d x} [10 x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{10 x}$ и $x^{3}$ .

$\frac{x^{3}}{10 x} \frac{d}{d x} [10 x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{10 x} \frac{d}{d x} [10 x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $10 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 10} \frac{d}{d x} [10 x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 10} \frac{d}{d x} [10 x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{10} \frac{d}{d x} [10 x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{10} (10 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $10$ и $\frac{x^{2}}{10}$ .

$\frac{10 x^{2}}{10} \frac{d}{d x} [x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 x^{2}}{10} \frac{d}{d x} [x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.4.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.6

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{2} + \ln (10 x) (3 x^{2})$

Этап 3.8

Изменим порядок членов.

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (10 x)$