Математический анализ Примеры

y = \frac{x sin (x)}{1 + cos (x)}

$y = \frac{x \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где

$f (x) = x \sin (x)$ и

$g (x) = 1 + \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где

$f (x) = x$ и

$g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3

Производная

$\sin (x)$ по

$x$ равна

$\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 4.2

Умножим

$\sin (x)$ на

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 4.3

По правилу суммы производная

$1 + \cos (x)$ по

$x$ имеет вид

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 4.4

Поскольку

$1$ является константой относительно

$x$ , производная

$1$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 4.5

Добавим

$0$ и

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 5

Производная

$\cos (x)$ по

$x$ равна

$- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2

Умножим

$x$ на

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 7

Возведем

$\sin (x)$ в степень

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 8

Возведем

$\sin (x)$ в степень

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 9

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 10

Добавим

$1$ и

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1

Развернем

$(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11.1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11.1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.2.1

Умножим

$x \cos (x)$ на

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11.1.1.2.2

Умножим

$\sin (x)$ на

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11.1.1.2.3

Умножим

$\cos (x) (x \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.2.3.1

Возведем

$\cos (x)$ в степень

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11.1.1.2.3.2

Возведем

$\cos (x)$ в степень

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11.1.1.2.3.3

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11.1.1.2.3.4

Добавим

$1$ и

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11.1.2

Перенесем

$x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11.1.3

Вынесем множитель

$x$ из

$x \cos^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11.1.4

Вынесем множитель

$x$ из

$x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11.1.5

Вынесем множитель

$x$ из

$x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11.1.6

Переставляем члены.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11.1.7

Применим формулу Пифагора.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11.1.8

Умножим

$x$ на

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11.2

Изменим порядок членов.

$\frac{x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(x \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) + x + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11.3.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{\cos (x) (x + \sin (x)) + 1 (x + \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11.3.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель

$x + \sin (x)$ .

$\frac{(x + \sin (x)) (\cos (x) + 1)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11.4

Сократим общий множитель

$\cos (x) + 1$ и

${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Изменим порядок членов.

$\frac{(x + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11.4.2

Вынесем множитель

$1 + \cos (x)$ из

$(x + \sin (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11.4.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.3.1

Вынесем множитель

$1 + \cos (x)$ из

${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Этап 11.4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Этап 11.4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x + \sin (x)}{1 + \cos (x)}$