Математический анализ Примеры

$y = x e^{x} - 4 e^{- x}$

Этап 1

По правилу суммы производная $x e^{x} - 4 e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

Этап 2.4

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 e^{- x}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{- x} \cdot - 1)$

Этап 3.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (- 1 \cdot e^{- x})$

Этап 3.7

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (- e^{- x})$

Этап 3.8

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$x e^{x} + e^{x} + 4 e^{- x}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$e^{x} x + 4 e^{- x} + e^{x}$

Этап 4.2

Изменим порядок множителей в $e^{x} x + 4 e^{- x} + e^{x}$ .

$x e^{x} + 4 e^{- x} + e^{x}$