Математический анализ Примеры

$y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 8 e^{x}$

Этап 1

По правилу суммы производная $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 8 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x e^{x}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Этап 3.2

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Этап 3.3

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Этап 3.5

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 e^{x}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 4.2

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 8 e^{x}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x}) - 2 e^{x} + 8 e^{x}$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $2 x e^{x}$ из $e^{x} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Перенесем $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x} + 8 e^{x}$

Этап 5.2.1.2

Вычтем $2 x e^{x}$ из $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x} + 8 e^{x}$

Этап 5.2.2

Добавим $x^{2} e^{x}$ и $0$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} + 8 e^{x}$

Этап 5.2.3

Добавим $- 2 e^{x}$ и $8 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 6 e^{x}$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$e^{x} x^{2} + 6 e^{x}$

Этап 5.4

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{2} + 6 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 6 e^{x}$