Математический анализ Примеры

$y = \sqrt[4]{5 x}$

Этап 1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{5 x}$ в виде ${(5 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{4}}]$

Этап 1.2

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{4}}]$

Этап 1.3

Применим правило умножения к $5 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}}]$

Этап 2

Поскольку $5^{\frac{1}{4}}$ является константой относительно $x$ , производная $5^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}}$ по $x$ равна $5^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$5^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{4}$ .

$5^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$5^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$5^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$5^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$5^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

Этап 7.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$5^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$5^{\frac{1}{4}} \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Этап 10

Объединим $5^{\frac{1}{4}}$ и $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{4}} x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Этап 11

Перенесем $x^{- \frac{3}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{4}}}{4 x^{\frac{3}{4}}}$