Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2
Этап 2.1
С помощью запишем в виде .
Этап 2.2
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.4
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.4.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.4.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.4.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.5
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.6
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.7
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.8
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.9
Умножим на .
Этап 2.10
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 2.11
Объединим и .
Этап 2.12
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.13
Упростим числитель.
Этап 2.13.1
Умножим на .
Этап 2.13.2
Вычтем из .
Этап 2.14
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.15
Умножим на .
Этап 2.16
Вычтем из .
Этап 2.17
Объединим и .
Этап 2.18
Объединим и .
Этап 2.19
Объединим и .
Этап 2.20
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 2.21
Вынесем множитель из .
Этап 2.22
Сократим общие множители.
Этап 2.22.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.22.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.22.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.23
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.24
Умножим на .
Этап 2.25
Умножим на .
Этап 2.26
Объединим и .
Этап 2.27
Возведем в степень .
Этап 2.28
Возведем в степень .
Этап 2.29
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.30
Добавим и .
Этап 2.31
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 2.32
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.33
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 2.33.1
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.33.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.33.3
Добавим и .
Этап 2.33.4
Разделим на .
Этап 2.34
Упростим .
Этап 2.35
Добавим и .
Этап 2.36
Добавим и .
Этап 2.37
Перемножим экспоненты в .
Этап 2.37.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 2.37.2
Сократим общий множитель .
Этап 2.37.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.37.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 2.38
Упростим.
Этап 2.39
Перепишем в виде произведения.
Этап 2.40
Умножим на .
Этап 2.41
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 2.41.1
Умножим на .
Этап 2.41.1.1
Возведем в степень .
Этап 2.41.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.41.2
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 2.41.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.41.4
Добавим и .
Этап 3
Этап 3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 3.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.2.2
Производная по равна .
Этап 3.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3.3
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.5
Умножим на .
Этап 3.6
Умножим на .
Этап 3.7
Перенесем влево от .
Этап 4
Этап 4.1
Применим правило умножения к .
Этап 4.2
Возведем в степень .
Этап 4.3
Упростим каждый член.
Этап 4.3.1
Упростим знаменатель.
Этап 4.3.1.1
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 4.3.1.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.3.1.3
Перепишем в разложенном на множители виде.
Этап 4.3.1.3.1
Перепишем в виде .
Этап 4.3.1.3.2
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 4.3.1.4
Перепишем в виде .
Этап 4.3.1.4.1
Вынесем полную степень из .
Этап 4.3.1.4.2
Вынесем полную степень из .
Этап 4.3.1.4.3
Перегруппируем дробь .
Этап 4.3.1.5
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 4.3.1.6
Объединим и .
Этап 4.3.2
Объединим и .
Этап 4.3.3
Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.
Этап 4.3.3.1
Сократим выражение путем отбрасывания общих множителей.
Этап 4.3.3.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.3.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.3.3.2
Разделим на .
Этап 4.3.4
Умножим на .
Этап 4.3.5
Объединим и упростим знаменатель.
Этап 4.3.5.1
Умножим на .
Этап 4.3.5.2
Возведем в степень .
Этап 4.3.5.3
Возведем в степень .
Этап 4.3.5.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.3.5.5
Добавим и .
Этап 4.3.5.6
Перепишем в виде .
Этап 4.3.5.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 4.3.5.6.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.3.5.6.3
Объединим и .
Этап 4.3.5.6.4
Сократим общий множитель .
Этап 4.3.5.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.5.6.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.3.5.6.5
Упростим.
Этап 4.4
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.5
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.6
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Этап 4.6.1
Умножим на .
Этап 4.6.2
Умножим на .
Этап 4.6.3
Изменим порядок множителей в .
Этап 4.6.4
Изменим порядок множителей в .
Этап 4.7
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.8
Упростим числитель.
Этап 4.8.1
С помощью запишем в виде .
Этап 4.8.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.8.3
Умножим на .
Этап 4.8.4
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 4.8.4.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.8.4.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.8.4.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.8.5
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 4.8.5.1
Упростим каждый член.
Этап 4.8.5.1.1
Умножим на .
Этап 4.8.5.1.2
Умножим на .
Этап 4.8.5.1.3
Умножим на .
Этап 4.8.5.1.4
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 4.8.5.1.5
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 4.8.5.1.5.1
Перенесем .
Этап 4.8.5.1.5.2
Умножим на .
Этап 4.8.5.1.6
Умножим на .
Этап 4.8.5.2
Добавим и .
Этап 4.8.5.3
Добавим и .
Этап 4.8.6
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 4.8.6.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.8.6.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.8.6.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.8.7
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 4.8.7.1
Упростим каждый член.
Этап 4.8.7.1.1
Умножим на .
Этап 4.8.7.1.2
Умножим на .
Этап 4.8.7.1.3
Перенесем влево от .
Этап 4.8.7.1.4
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 4.8.7.1.5
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 4.8.7.1.5.1
Перенесем .
Этап 4.8.7.1.5.2
Умножим на .
Этап 4.8.7.2
Добавим и .
Этап 4.8.7.3
Добавим и .
Этап 4.8.8
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 4.8.8.1
Перенесем .
Этап 4.8.8.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.8.8.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.8.8.4
Добавим и .
Этап 4.8.8.5
Разделим на .
Этап 4.8.9
Перепишем в виде .
Этап 4.8.10
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 4.8.10.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.8.10.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.8.10.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.8.11
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 4.8.11.1
Упростим каждый член.
Этап 4.8.11.1.1
Умножим на .
Этап 4.8.11.1.2
Умножим на .
Этап 4.8.11.1.3
Умножим на .
Этап 4.8.11.1.4
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 4.8.11.1.5
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 4.8.11.1.5.1
Перенесем .
Этап 4.8.11.1.5.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.8.11.1.5.3
Добавим и .
Этап 4.8.11.1.6
Умножим на .
Этап 4.8.11.1.7
Умножим на .
Этап 4.8.11.2
Вычтем из .
Этап 4.8.12
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.8.13
Упростим.
Этап 4.8.13.1
Умножим на .
Этап 4.8.13.2
Умножим на .
Этап 4.8.14
Вычтем из .
Этап 4.8.15
Добавим и .
Этап 4.8.16
Добавим и .
Этап 4.8.17
Перепишем в разложенном на множители виде.
Этап 4.8.17.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.8.17.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.8.17.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 4.8.17.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 4.8.17.2
Перепишем в виде .
Этап 4.8.17.3
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 4.9
Сократим общий множитель.
Этап 4.10
Перепишем это выражение.
Этап 4.11
Сократим общий множитель.
Этап 4.12
Перепишем это выражение.