Математический анализ Примеры

С помощью ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ запишем ${\displaystyle \sqrt{4-x^2}}$ в виде ${\displaystyle {(4-x^2)}^{\frac{1}{2}}}$.

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]-f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]}{{g\left(x\right)}^2}}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)={(4-x^2)}^{\frac{1}{2}}}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=4-x^2}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 4-x^2}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[4\right]+\frac{d}{dx}[-x^2]}$.

Поскольку ${\displaystyle 4}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 4}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Поскольку ${\displaystyle -1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -x^2}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{d}{dx}\left[x^2\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=2}$.

Умножим ${\displaystyle {(4-x^2)}^{\frac{1}{2}}}$ на ${\displaystyle 1}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Умножим ${\displaystyle 2}$ на ${\displaystyle -1}$.

Вычтем ${\displaystyle 2x}$ из ${\displaystyle 0}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ и ${\displaystyle {(4-x^2)}^{-\frac{1}{2}}}$.

Объединим ${\displaystyle -2}$ и ${\displaystyle \frac{{(4-x^2)}^{-\frac{1}{2}}}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{-2{(4-x^2)}^{-\frac{1}{2}}}{2}}$ и ${\displaystyle x}$.

Перенесем ${\displaystyle {(4-x^2)}^{-\frac{1}{2}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Вынесем множитель ${\displaystyle 2}$ из ${\displaystyle -2x}$.

Сократим общие множители.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle -1}$.

Умножим ${\displaystyle x}$ на ${\displaystyle 1}$.

Объединим ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle \frac{x}{{(4-x^2)}^{\frac{1}{2}}}}$.

Возведем ${\displaystyle x}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Возведем ${\displaystyle x}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Применим правило степени ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ для объединения показателей.

Добавим ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 1}$.

Чтобы записать ${\displaystyle {(4-x^2)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{{(4-x^2)}^{\frac{1}{2}}}{{(4-x^2)}^{\frac{1}{2}}}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Умножим ${\displaystyle {(4-x^2)}^{\frac{1}{2}}}$ на ${\displaystyle {(4-x^2)}^{\frac{1}{2}}}$, сложив экспоненты.

Упростим ${\displaystyle {(4-x^2)}^1}$.

Добавим ${\displaystyle -x^2}$ и ${\displaystyle x^2}$.

Добавим ${\displaystyle 4}$ и ${\displaystyle 0}$.

Перемножим экспоненты в ${\displaystyle {\left({(4-x^2)}^{\frac{1}{2}}\right)}^2}$.

Упростим.

Перепишем ${\displaystyle \frac{\frac{4}{{(4-x^2)}^{\frac{1}{2}}}}{4-x^2}}$ в виде произведения.

Умножим ${\displaystyle \frac{4}{{(4-x^2)}^{\frac{1}{2}}}}$ на ${\displaystyle \frac{1}{4-x^2}}$.

Умножим ${\displaystyle {(4-x^2)}^{\frac{1}{2}}}$ на ${\displaystyle 4-x^2}$, сложив экспоненты.

Поскольку ${\displaystyle -1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\arcsin \left(\frac{x}{2}\right)}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{d}{dx}\left[\arcsin \left(\frac{x}{2}\right)\right]}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=\arcsin \left(x\right)}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{x}{2}}$.

Поскольку ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{x}{2}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ на ${\displaystyle 1}$.