Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{3 x + 5} {(8 x - 3)}^{4}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x + 5}$ в виде ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{4}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = {(8 x - 3)}^{4}$ .

${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(8 x - 3)}^{4}] + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = 8 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $8 x - 3$ .

${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $8 x - 3$ .

${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (4 {(8 x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $4$ влево от ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \cdot {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [8 x - 3] + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $8 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.5

Умножим $8$ на $1$ .

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (8 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.6

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (8 + 0) + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Добавим $8$ и $0$ .

$4 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} \cdot 8 + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.7.2

Умножим $8$ на $4$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x + 5$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x + 5$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Этап 6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Этап 7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Этап 9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Этап 10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Этап 10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{{(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Этап 10.3

Перенесем ${(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + {(8 x - 3)}^{4} (\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Этап 10.4

Объединим $\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и ${(8 x - 3)}^{4}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + 5]$

Этап 11

По правилу суммы производная $3 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 12

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 14

Умножим $3$ на $1$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 15

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0)$

Этап 16

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Добавим $3$ и $0$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3$

Этап 16.2

Объединим $\frac{{(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и $3$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{{(8 x - 3)}^{4} \cdot 3}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.3

Перенесем $3$ влево от ${(8 x - 3)}^{4}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + \frac{3 \cdot {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17

Чтобы записать $32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} \cdot \frac{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18

Объединим $32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3}$ и $\frac{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{32 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} (2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}) + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20

Умножим $2$ на $32$ .

$\frac{64 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21

Умножим ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Перенесем ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{64 ({(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}) {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{64 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{64 {(3 x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{64 {(3 x + 5)}^{\frac{2}{2}} {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{64 {(3 x + 5)}^{1} {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22

Упростим $64 {(3 x + 5)}^{1} {(8 x - 3)}^{3}$ .

$\frac{64 (3 x + 5) {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(64 (3 x) + 64 \cdot 5) {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1

Вынесем множитель ${(8 x - 3)}^{3}$ из $(64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5) {(8 x - 3)}^{3} + 3 {(8 x - 3)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.1

Вынесем множитель ${(8 x - 3)}^{3}$ из $(64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5) {(8 x - 3)}^{3}$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5) + 3 {(8 x - 3)}^{4}}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.2.1.2

Вынесем множитель ${(8 x - 3)}^{3}$ из $3 {(8 x - 3)}^{4}$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5) + {(8 x - 3)}^{3} (3 (8 x - 3))}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.2.1.3

Вынесем множитель ${(8 x - 3)}^{3}$ из ${(8 x - 3)}^{3} (64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5) + {(8 x - 3)}^{3} (3 (8 x - 3))$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (64 \cdot 3 x + 64 \cdot 5 + 3 (8 x - 3))}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.2.2

Умножим $64$ на $3$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (192 x + 64 \cdot 5 + 3 (8 x - 3))}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.2.3

Умножим $64$ на $5$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (192 x + 320 + 3 (8 x - 3))}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (192 x + 320 + 3 (8 x) + 3 \cdot - 3)}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.2.5

Умножим $8$ на $3$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (192 x + 320 + 24 x + 3 \cdot - 3)}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.2.6

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (192 x + 320 + 24 x - 9)}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.2.7

Добавим $192 x$ и $24 x$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (216 x + 320 - 9)}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.2.8

Вычтем $9$ из $320$ .

$\frac{{(8 x - 3)}^{3} (216 x + 311)}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$