Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 5}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ и $g (x) = x^{2} + 5$ .

$\frac{(x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 2.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 2.7

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $x^{2} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 2.10

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 2.11.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - 2 (x^{2} - 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) + (- 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Развернем $(x^{2} + 5) (2 x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (2 x - 2) + 5 (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.3

Перенесем $- 2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 \cdot x^{2} + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.4

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.5

Умножим $5$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} - 2 (- 2 (x \cdot x)) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} - 2 (- 2 x^{2}) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.1.5

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.1.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 10 x - 10 + 0 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 2 x^{2} + 10 x - 10$ и $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 10 x - 10 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Добавим $- 2 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Вычтем $2 x$ из $10 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 x - 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 8 x - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 8 x - 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $8 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (4 x) - 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (4 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.4.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 (4 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.4.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} + 4 x) + 2 \cdot - 5$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4 x - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Разложим $x^{2} + 4 x - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $4$ .

$- 1, 5$

Этап 3.4.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{2 ((x - 1) (x + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

$\frac{2 (x - 1) (x + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$