Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 2 x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 4$ и $g (x) = x^{2} - 2 x$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x) (2 x + 0) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x) (2 x) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 2.4.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2 \cdot 1)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 2.9

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x)) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 2 (x \cdot x)) + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2}) + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4.1.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4.1.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + (- x^{2} + 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4.1.5

Развернем $(- x^{2} + 4) (2 x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - x^{2} (2 x - 2) + 4 (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4.1.6.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.6.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4.1.6.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.6.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4.1.6.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4.1.6.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4.1.6.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4.1.6.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4.1.6.5

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 8 x + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4.1.6.6

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 8 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 0 + 2 x^{2} + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4.2.2

Добавим $- 4 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x^{2} + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Добавим $- 4 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2} + 8 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $8 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.5.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (- 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.5.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (- 4)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.5.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 (x) - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.5.2.1.2

Запишем $4$ как $2$ плюс $2$

$\frac{2 (- x^{2} + (2 + 2) x - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.5.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (- x^{2} + 2 x + 2 x - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{2 ((- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.5.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{2 (x (- x + 2) - 2 (- x + 2))}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.5.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 2$ .

$\frac{2 ((- x + 2) (x - 2))}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

$\frac{2 (- x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.5.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 2) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.5.3.2

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 2)) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.5.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (- (x - 2)) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.5.3.4

Перепишем $- (x - 2)$ в виде $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 2)) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.5.3.5

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2))}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.5.3.6

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.5.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \cdot - 1 {(x - 2)}^{1 + 1}}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.5.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.5.3.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{{(x \cdot x - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.6.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{{(x \cdot x + x \cdot - 2)}^{2}}$

Этап 3.6.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{{(x (x - 2))}^{2}}$

Этап 3.6.2

Применим правило умножения к $x (x - 2)$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{x^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.7

Сократим общий множитель ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{x^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x^{2}}$