Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{5}}{4 - x^{4}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = 4 - x^{4}$ .

$\frac{(4 - x^{4}) \frac{d}{d x} [x^{5}] - x^{5} \frac{d}{d x} [4 - x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{(4 - x^{4}) (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} [4 - x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Этап 2.2

Перенесем $5$ влево от $4 - x^{4}$ .

$\frac{5 \cdot (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} \frac{d}{d x} [4 - x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $4 - x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4}])}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{4}])}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Этап 2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} \frac{d}{d x} [- x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} (- \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Этап 2.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + 1 x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Этап 2.7.2

Умножим $x^{5}$ на $1$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{5} (4 x^{3})}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Этап 3

Умножим $x^{5}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{3} x^{5} \cdot 4}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Этап 3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{3 + 5} \cdot 4}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Этап 3.3

Добавим $3$ и $5$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{8} \cdot 4}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Этап 4

Перенесем $4$ влево от $x^{8}$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + 4 \cdot x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(5 \cdot 4 + 5 (- x^{4})) x^{4} + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 \cdot 4 x^{4} + 5 (- x^{4}) x^{4} + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{20 x^{4} + 5 (- x^{4}) x^{4} + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Умножим $x^{4}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Перенесем $x^{4}$ .

$\frac{20 x^{4} + 5 (- (x^{4} x^{4})) + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{20 x^{4} + 5 (- x^{4 + 4}) + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2.3

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{20 x^{4} + 5 (- x^{8}) + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Этап 5.3.1.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{20 x^{4} - 5 x^{8} + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Добавим $- 5 x^{8}$ и $4 x^{8}$ .

$\frac{20 x^{4} - x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Этап 5.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{8} + 20 x^{4}}{{(- x^{4} + 4)}^{2}}$