Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{5}}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = {(x^{2} - 6)}^{6}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}] - x^{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{6}]}{{({(x^{2} - 6)}^{6})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 6)}^{6})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}] - x^{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{6}]}{{(x^{2} - 6)}^{6 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}] - x^{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{6}]}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{6} (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{6}]}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 2.3

Перенесем $5$ влево от ${(x^{2} - 6)}^{6}$ .

$\frac{5 \cdot {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - x^{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{6}]}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{6}$ и $g (x) = x^{2} - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 6$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - x^{5} (6 u^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 6$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - x^{5} (6 {(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 6 x^{5} ({(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 6 x^{5} ({(x^{2} - 6)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 6 x^{5} ({(x^{2} - 6)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 4.4

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 6 x^{5} ({(x^{2} - 6)}^{5} (2 x + 0))}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 6 x^{5} ({(x^{2} - 6)}^{5} (2 x))}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 4.5.2

Перенесем $2$ влево от ${(x^{2} - 6)}^{5}$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 6 x^{5} (2 \cdot {(x^{2} - 6)}^{5} x)}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 4.5.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 12 x^{5} ({(x^{2} - 6)}^{5} x)}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 12 (x^{1} x^{5}) {(x^{2} - 6)}^{5}}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 12 x^{1 + 5} {(x^{2} - 6)}^{5}}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 7

Добавим $1$ и $5$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 12 x^{6} {(x^{2} - 6)}^{5}}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель ${(x^{2} - 6)}^{5} x^{4}$ из $5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 12 x^{6} {(x^{2} - 6)}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Вынесем множитель ${(x^{2} - 6)}^{5} x^{4}$ из $5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (5 (x^{2} - 6)) - 12 x^{6} {(x^{2} - 6)}^{5}}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 8.1.1.2

Вынесем множитель ${(x^{2} - 6)}^{5} x^{4}$ из $- 12 x^{6} {(x^{2} - 6)}^{5}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (5 (x^{2} - 6)) + {(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (- 12 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 8.1.1.3

Вынесем множитель ${(x^{2} - 6)}^{5} x^{4}$ из ${(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (5 (x^{2} - 6)) + {(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (- 12 x^{2})$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (5 (x^{2} - 6) - 12 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 8.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (5 x^{2} + 5 \cdot - 6 - 12 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 8.1.3

Умножим $5$ на $- 6$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (5 x^{2} - 30 - 12 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 8.1.4

Вычтем $12 x^{2}$ из $5 x^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (- 7 x^{2} - 30)}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель ${(x^{2} - 6)}^{5}$ и ${(x^{2} - 6)}^{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель ${(x^{2} - 6)}^{5}$ из ${(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (- 7 x^{2} - 30)$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} (x^{4} (- 7 x^{2} - 30))}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Этап 8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вынесем множитель ${(x^{2} - 6)}^{5}$ из ${(x^{2} - 6)}^{12}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} (x^{4} (- 7 x^{2} - 30))}{{(x^{2} - 6)}^{5} {(x^{2} - 6)}^{7}}$

Этап 8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} (x^{4} (- 7 x^{2} - 30))}{{(x^{2} - 6)}^{5} {(x^{2} - 6)}^{7}}$

Этап 8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{4} (- 7 x^{2} - 30)}{{(x^{2} - 6)}^{7}}$

Этап 8.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 7 x^{2}$ .

$\frac{x^{4} (- (7 x^{2}) - 30)}{{(x^{2} - 6)}^{7}}$

Этап 8.4

Перепишем $- 30$ в виде $- 1 (30)$ .

$\frac{x^{4} (- (7 x^{2}) - 1 (30))}{{(x^{2} - 6)}^{7}}$

Этап 8.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (7 x^{2}) - 1 (30)$ .

$\frac{x^{4} (- (7 x^{2} + 30))}{{(x^{2} - 6)}^{7}}$

Этап 8.6

Перепишем $- (7 x^{2} + 30)$ в виде $- 1 (7 x^{2} + 30)$ .

$\frac{x^{4} (- 1 (7 x^{2} + 30))}{{(x^{2} - 6)}^{7}}$

Этап 8.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{4} (7 x^{2} + 30)}{{(x^{2} - 6)}^{7}}$