Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{3} + 1}{8 x}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{8}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{3} + 1}{8 x}$ по $x$ равна $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 1}{x}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 1}{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{3} + 1$ и $g (x) = x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + 1] - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (3 x^{2}) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 (x^{1} x^{2}) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{1 + 2} - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 6

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1)}{x^{2}}$

Этап 8.2

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1)}{8 x^{2}}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 1 \cdot 1}{8 x^{2}}$

Этап 9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 1}{8 x^{2}}$

Этап 9.2.2

Вычтем $x^{3}$ из $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 1}{8 x^{2}}$