Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{9}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{9}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{x^{3}}{3}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \ln (x)}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{3} \ln (x)}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Этап 2.4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Этап 2.6

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Этап 2.7

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Этап 2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Этап 2.7.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Этап 2.7.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Этап 2.7.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Этап 2.7.2.5

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- \frac{1}{9}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x^{3}}{9}$ по $x$ равна $- \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{1}{9} (3 x^{2})$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - 3 (\frac{1}{9}) x^{2}$

Этап 3.4

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- 3}{9} x^{2}$

Этап 3.5

Объединим $\frac{- 3}{9}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- 3 x^{2}}{9}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $- 3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{9}$

Этап 3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{3 (3)}$

Этап 3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 3}$

Этап 3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- x^{2}}{3}$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{x^{2}}{3}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} (\ln (x) (3 x^{2})) - \frac{x^{2}}{3}$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{\ln (x)}{3} (3 x^{2}) - \frac{x^{2}}{3}$

Этап 4.2.2

Объединим $3$ и $\frac{\ln (x)}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x)}{3} x^{2} - \frac{x^{2}}{3}$

Этап 4.2.3

Объединим $\frac{3 \ln (x)}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x) x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x) x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Этап 4.2.4.2

Разделим $\ln (x) x^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \ln (x) x^{2} - \frac{x^{2}}{3}$

Этап 4.2.5

Чтобы записать $\frac{1}{3} x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{1}{3} x^{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Этап 4.2.6

Объединим $\frac{1}{3} x^{2}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{2} \cdot 3}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Этап 4.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 - x^{2}}{3}$

Этап 4.2.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{2}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{x^{2}}{3} \cdot 3 - x^{2}}{3}$

Этап 4.2.9

Объединим $\frac{x^{2}}{3}$ и $3$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{x^{2} \cdot 3}{3} - x^{2}}{3}$

Этап 4.2.10

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{3 \cdot x^{2}}{3} - x^{2}}{3}$

Этап 4.2.11

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.11.1

Сократим общий множитель.

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{3 x^{2}}{3} - x^{2}}{3}$

Этап 4.2.11.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{x^{2} - x^{2}}{3}$

Этап 4.2.12

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{0}{3}$

Этап 4.2.13

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.13.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 (0)}{3}$

Этап 4.2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.13.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Этап 4.2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Этап 4.2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (x) x^{2} + \frac{0}{1}$

Этап 4.2.13.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\ln (x) x^{2} + 0$

Этап 4.2.14

Добавим $\ln (x) x^{2}$ и $0$ .

$\ln (x) x^{2}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $\ln (x) x^{2}$ .

$x^{2} \ln (x)$