Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Этап 2.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Этап 2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Этап 2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Этап 2.8

Вычтем $4$ из $1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x^{3}}$ .

$- 2 x^{- 3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 2 x^{- 3} - \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{3}$ .

$- 2 x^{- 3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- 2 x^{- 3} - (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{3}$ .

$- 2 x^{- 3} - (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 2 x^{- 3} - (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 x^{- 3} - (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Этап 3.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x^{- 3} - (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Этап 3.6.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- 2 x^{- 3} - (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Этап 3.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 2 x^{- 3} - (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Этап 3.8

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 2 x^{- 3} - (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Этап 3.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 x^{- 3} - (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Этап 3.8.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$- 2 x^{- 3} - (- 3 x^{- 4}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Этап 3.9

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$- 2 x^{- 3} + 3 x^{- 4} + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Этап 3.10

Умножим $\frac{1}{x^{3}}$ на $0$ .

$- 2 x^{- 3} + 3 x^{- 4} + 0$

Этап 3.11

Добавим $3 x^{- 4}$ и $0$ .

$- 2 x^{- 3} + 3 x^{- 4}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}} + 3 x^{- 4}$

Этап 4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}} + 3 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}} + 3 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 4.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x^{3}} + 3 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 4.3.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}}$