Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Запишем в виде функции.
Этап 2
Этап 2.1
Найдем вторую производную.
Этап 2.1.1
Найдем первую производную.
Этап 2.1.1.1
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.1.1.2
Производная по равна .
Этап 2.1.1.3
Продифференцируем, используя правило степени.
Этап 2.1.1.3.1
Объединим и .
Этап 2.1.1.3.2
Сократим общий множитель и .
Этап 2.1.1.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.1.3.2.2
Сократим общие множители.
Этап 2.1.1.3.2.2.1
Возведем в степень .
Этап 2.1.1.3.2.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.1.3.2.2.3
Сократим общий множитель.
Этап 2.1.1.3.2.2.4
Перепишем это выражение.
Этап 2.1.1.3.2.2.5
Разделим на .
Этап 2.1.1.3.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.1.3.4
Изменим порядок членов.
Этап 2.1.2
Найдем вторую производную.
Этап 2.1.2.1
Продифференцируем.
Этап 2.1.2.1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.1.2.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.2.2
Найдем значение .
Этап 2.1.2.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.1.2.2.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.1.2.2.3
Производная по равна .
Этап 2.1.2.2.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.2.2.5
Объединим и .
Этап 2.1.2.2.6
Сократим общий множитель и .
Этап 2.1.2.2.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.2.2.6.2
Сократим общие множители.
Этап 2.1.2.2.6.2.1
Возведем в степень .
Этап 2.1.2.2.6.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.2.2.6.2.3
Сократим общий множитель.
Этап 2.1.2.2.6.2.4
Перепишем это выражение.
Этап 2.1.2.2.6.2.5
Разделим на .
Этап 2.1.2.3
Упростим.
Этап 2.1.2.3.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.2.3.2
Объединим термины.
Этап 2.1.2.3.2.1
Умножим на .
Этап 2.1.2.3.2.2
Добавим и .
Этап 2.1.2.3.3
Изменим порядок членов.
Этап 2.1.3
Вторая производная по равна .
Этап 2.2
Приравняем вторую производную к , затем найдем решение уравнения .
Этап 2.2.1
Пусть вторая производная равна .
Этап 2.2.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 2.2.3
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 2.2.3.1
Разделим каждый член на .
Этап 2.2.3.2
Упростим левую часть.
Этап 2.2.3.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 2.2.3.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.2.3.2.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 2.2.3.2.2
Сократим общий множитель .
Этап 2.2.3.2.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.2.3.2.2.2
Разделим на .
Этап 2.2.3.3
Упростим правую часть.
Этап 2.2.3.3.1
Сократим общий множитель .
Этап 2.2.3.3.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.2.3.3.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 2.2.3.3.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.2.4
Чтобы решить относительно , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.
Этап 2.2.5
Перепишем в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если и — положительные вещественные числа и , то эквивалентно .
Этап 2.2.6
Решим относительно .
Этап 2.2.6.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 2.2.6.2
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 3
Этап 3.1
Зададим аргумент в большим , чтобы узнать, где определено данное выражение.
Этап 3.2
Область определения ― это все значения , при которых выражение определено.
Интервальное представление:
Обозначение построения множества:
Интервальное представление:
Обозначение построения множества:
Этап 4
Создадим интервалы вокруг значений , в которых вторая производная равна нулю или не определена.
Этап 5
Этап 5.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 5.2
Упростим результат.
Этап 5.2.1
Упростим каждый член.
Этап 5.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 5.2.1.2
Умножим на .
Этап 5.2.1.3
Возведем в степень .
Этап 5.2.1.4
Умножим на .
Этап 5.2.1.5
Упростим путем переноса под логарифм.
Этап 5.2.1.6
Возведем в степень .
Этап 5.2.2
Добавим и .
Этап 5.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 5.3
График вогнут вниз на интервале , поскольку имеет отрицательное значение.
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Этап 6
Этап 6.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 6.2
Упростим результат.
Этап 6.2.1
Упростим каждый член.
Этап 6.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 6.2.1.2
Умножим на .
Этап 6.2.1.3
Возведем в степень .
Этап 6.2.1.4
Умножим на .
Этап 6.2.1.5
Упростим путем переноса под логарифм.
Этап 6.2.2
Окончательный ответ: .
Этап 6.3
График вогнут вверх на интервале , поскольку имеет положительное значение.
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 7
График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 8