Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 25}}$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 25}$ в виде ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Этап 1.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Этап 1.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 25$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 25$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Этап 7.2

Объединим ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 25)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Этап 7.3

Перенесем ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Этап 8

По правилу суммы производная $x^{2} + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [25])$

Этап 10

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} (2 x + 0)$

Этап 11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Этап 11.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} x$

Этап 11.3

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} x$

Этап 11.4

Объединим $\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 11.5

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}})}$

Этап 12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$