Математический анализ Примеры

$y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

Этап 1

Запишем $y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ в виде функции.

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{5}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.1.2.3

Умножим $5$ на $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{3}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2} + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $15 x^{4} - 15 x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $15 x^{4} - 15 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{4}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Этап 2.2.2.3

Умножим $4$ на $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15 x^{2}$ по $x$ равна $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 \frac{d}{d x} x^{2}$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 (2 x)$

Этап 2.2.3.3

Умножим $2$ на $- 15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 30 x$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $60 x^{3} - 30 x$ .

$60 x^{3} - 30 x$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $60 x^{3} - 30 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$60 x^{3} - 30 x = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $30 x$ из $60 x^{3} - 30 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $30 x$ из $60 x^{3}$ .

$30 x (2 x^{2}) - 30 x = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $30 x$ из $- 30 x$ .

$30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1) = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $30 x$ из $30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1)$ .

$30 x (2 x^{2} - 1) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $2 x^{2} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $2 x^{2} - 1$ к $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $2 x^{2} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} = 1$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $2 x^{2} = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x^{2} = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 3.5.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.5.2.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 3.5.2.4.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.5.2.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.5.2.4.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 3.5.2.4.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 3.5.2.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.5.2.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.5.2.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.5.2.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.5.2.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.5.2.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.5.2.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 3.5.2.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.5.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.5.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.5.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $30 x (2 x^{2} - 1) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ в $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 3 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{3} + 1$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f (0) = 0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 1$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 5$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (0) = 1$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 4.2

Подставляя $0$ в $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ , найдем точку $(0, 1)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 1)$

Этап 4.3

Подставим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5} - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{5}$ в виде $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{2^{5}}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.3.2.1.2.2

Возведем $2$ в степень $5$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{32}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.3.2.1.2.3

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.3.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{16 (2)}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.3.2.1.2.3.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.3.2.1.2.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.3.2.1.3

Возведем $2$ в степень $5$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{32}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.3.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 (\sqrt{2})}{32}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.3.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $32$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.3.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.3.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{2}}{8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.3.2.1.5

Объединим $3$ и $\frac{\sqrt{2}}{8}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.3.2.1.6

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}} + 1$

Этап 4.3.2.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.7.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}} + 1$

Этап 4.3.2.1.7.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{8}}{2^{3}} + 1$

Этап 4.3.2.1.7.3

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.7.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}} + 1$

Этап 4.3.2.1.7.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}} + 1$

Этап 4.3.2.1.7.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}} + 1$

Этап 4.3.2.1.8

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{8} + 1$

Этап 4.3.2.1.9

Сократим общий множитель $2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.9.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 (\sqrt{2})}{8} + 1$

Этап 4.3.2.1.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + 1$

Этап 4.3.2.1.9.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + 1$

Этап 4.3.2.1.9.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2}}{4} + 1$

Этап 4.3.2.1.10

Объединим $- 5$ и $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{- 5 \sqrt{2}}{4} + 1$

Этап 4.3.2.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2}}{4} + 1$

Этап 4.3.2.2

Чтобы записать $- \frac{5 \sqrt{2}}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + 1$

Этап 4.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Умножим $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Этап 4.3.2.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Этап 4.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Этап 4.3.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1.1

Умножим $2$ на $- 5$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2}}{8} + 1$

Этап 4.3.2.5.1.2

Вычтем $10 \sqrt{2}$ из $3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Этап 4.3.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Этап 4.3.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$ .

$- \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Этап 4.4

Подставляя $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ , найдем точку $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Этап 4.5

Подставим $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.5.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 ({(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}})) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.5.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.5.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.3.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{5}$ в виде $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{2^{5}}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.5.2.1.3.2

Возведем $2$ в степень $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{32}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.5.2.1.3.3

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.3.3.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{16 (2)}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.5.2.1.3.3.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.5.2.1.3.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.5.2.1.4

Возведем $2$ в степень $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{32}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.5.2.1.5

Сократим общий множитель $4$ и $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 (\sqrt{2})}{32}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.5.2.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $32$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.5.2.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.5.2.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{2}}{8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.5.2.1.6

Умножим $3 (- \frac{\sqrt{2}}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 3 \frac{\sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.5.2.1.6.2

Объединим $- 3$ и $\frac{\sqrt{2}}{8}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.5.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{(3) \sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Этап 4.5.2.1.8

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.8.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}) + 1$

Этап 4.5.2.1.8.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}})) + 1$

Этап 4.5.2.1.9

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) + 1$

Этап 4.5.2.1.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.10.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) + 1$

Этап 4.5.2.1.10.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) + 1$

Этап 4.5.2.1.10.3

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.10.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) + 1$

Этап 4.5.2.1.10.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) + 1$

Этап 4.5.2.1.10.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) + 1$

Этап 4.5.2.1.11

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{8}) + 1$

Этап 4.5.2.1.12

Сократим общий множитель $2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.12.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 (\sqrt{2})}{8}) + 1$

Этап 4.5.2.1.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 1$

Этап 4.5.2.1.12.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 1$

Этап 4.5.2.1.12.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2}}{4}) + 1$

Этап 4.5.2.1.13

Умножим $- 5 (- \frac{\sqrt{2}}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.13.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + 5 (\frac{\sqrt{2}}{4}) + 1$

Этап 4.5.2.1.13.2

Объединим $5$ и $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2}}{4} + 1$

Этап 4.5.2.2

Чтобы записать $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + 1$

Этап 4.5.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1

Умножим $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Этап 4.5.2.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Этап 4.5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Этап 4.5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.5.1

Умножим $2$ на $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2}}{8} + 1$

Этап 4.5.2.5.2

Добавим $- 3 \sqrt{2}$ и $10 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Этап 4.5.2.6

Окончательный ответ: $\frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$ .

$\frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Этап 4.6

Подставляя $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ , найдем точку $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Этап 4.7

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.80710678$ .

$f'' (- 0.80710678) = 60 {(- 0.80710678)}^{3} - 30 \cdot - 0.80710678$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 0.80710678$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.80710678) = 60 \cdot - 0.52576659 - 30 \cdot - 0.80710678$

Этап 6.2.1.2

Умножим $60$ на $- 0.52576659$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 31.54599564 - 30 \cdot - 0.80710678$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 30$ на $- 0.80710678$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 31.54599564 + 24.21320343$

Этап 6.2.2

Добавим $- 31.54599564$ и $24.21320343$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 7.3327922$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 7.3327922$ .

$- 7.3327922$

Этап 6.3

При $- 0.80710678$ вторая производная имеет вид $- 7.3327922$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Убывание на $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.35355339$ .

$f'' (- 0.35355339) = 60 {(- 0.35355339)}^{3} - 30 \cdot - 0.35355339$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 0.35355339$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.35355339) = 60 \cdot - 0.04419417 - 30 \cdot - 0.35355339$

Этап 7.2.1.2

Умножим $60$ на $- 0.04419417$ .

$f'' (- 0.35355339) = - 2.65165042 - 30 \cdot - 0.35355339$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 30$ на $- 0.35355339$ .

$f'' (- 0.35355339) = - 2.65165042 + 10.60660171$

Этап 7.2.2

Добавим $- 2.65165042$ и $10.60660171$ .

$f'' (- 0.35355339) = 7.95495128$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $7.95495128$ .

$7.95495128$

Этап 7.3

При $- 0.35355339$ вторая производная имеет вид $7.95495128$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ .

Возрастание в области $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.35355339$ .

$f'' (0.35355339) = 60 {(0.35355339)}^{3} - 30 \cdot 0.35355339$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $0.35355339$ в степень $3$ .

$f'' (0.35355339) = 60 \cdot 0.04419417 - 30 \cdot 0.35355339$

Этап 8.2.1.2

Умножим $60$ на $0.04419417$ .

$f'' (0.35355339) = 2.65165042 - 30 \cdot 0.35355339$

Этап 8.2.1.3

Умножим $- 30$ на $0.35355339$ .

$f'' (0.35355339) = 2.65165042 - 10.60660171$

Этап 8.2.2

Вычтем $10.60660171$ из $2.65165042$ .

$f'' (0.35355339) = - 7.95495128$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $- 7.95495128$ .

$- 7.95495128$

Этап 8.3

При $0.35355339$ вторая производная имеет вид $- 7.95495128$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Убывание на $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.80710678$ .

$f'' (0.80710678) = 60 {(0.80710678)}^{3} - 30 \cdot 0.80710678$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Возведем $0.80710678$ в степень $3$ .

$f'' (0.80710678) = 60 \cdot 0.52576659 - 30 \cdot 0.80710678$

Этап 9.2.1.2

Умножим $60$ на $0.52576659$ .

$f'' (0.80710678) = 31.54599564 - 30 \cdot 0.80710678$

Этап 9.2.1.3

Умножим $- 30$ на $0.80710678$ .

$f'' (0.80710678) = 31.54599564 - 24.21320343$

Этап 9.2.2

Вычтем $24.21320343$ из $31.54599564$ .

$f'' (0.80710678) = 7.3327922$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $7.3327922$ .

$7.3327922$

Этап 9.3

При $0.80710678$ вторая производная имеет вид $7.3327922$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Этап 11