Математический анализ Примеры

$y = \frac{2 e^{x}}{x^{2} + 6}$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 e^{x}}{x^{2} + 6}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2} + 6}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2} + 6}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{2} + 6$ .

$2 \frac{(x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 4.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - e^{x} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 4.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - e^{x} (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 4.4.3

Объединим $2$ и $\frac{(x^{2} + 6) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ .

$\frac{2 ((x^{2} + 6) e^{x} - 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x^{2} e^{x} + 6 e^{x} - 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x^{2} e^{x}) + 2 (6 e^{x}) + 2 (- 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} + 2 (- 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} - 4 e^{x} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Изменим порядок множителей в $2 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} - 4 e^{x} x$ .

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} - 4 x e^{x}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 5.4

Изменим порядок членов.

$\frac{2 e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 12 e^{x}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 5.5

Вынесем множитель $2 e^{x}$ из $2 e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 12 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $2 e^{x}$ из $2 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) - 4 e^{x} x + 12 e^{x}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $2 e^{x}$ из $- 4 e^{x} x$ .

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x) + 12 e^{x}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 5.5.3

Вынесем множитель $2 e^{x}$ из $12 e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x} (6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 5.5.4

Вынесем множитель $2 e^{x}$ из $2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x)$ .

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 2 e^{x} (6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 5.5.5

Вынесем множитель $2 e^{x}$ из $2 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 2 e^{x} (6)$ .

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$