Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{5 x^{2}} + \frac{1}{9 x}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{1}{5 x^{2}} + \frac{1}{9 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{5 x^{2}}$ по $x$ равна $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{1}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{5} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{5} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Этап 2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{1}{5} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{5} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Этап 2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{5} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Этап 2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{5} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Этап 2.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{1}{5} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Этап 2.10

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{- 2}{5} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Этап 2.11

Объединим $\frac{- 2}{5}$ и $x^{- 3}$ .

$\frac{- 2 x^{- 3}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Этап 2.12

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{5 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Этап 2.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{5 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{1}{9}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{9 x}$ по $x$ равна $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{2}{5 x^{3}} + \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$- \frac{2}{5 x^{3}} + \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- \frac{2}{5 x^{3}} + \frac{1}{9} (- x^{- 2})$

Этап 3.4

Объединим $\frac{1}{9}$ и $x^{- 2}$ .

$- \frac{2}{5 x^{3}} - \frac{x^{- 2}}{9}$

Этап 3.5

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{5 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{2}}$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{9 x^{2}} - \frac{2}{5 x^{3}}$