Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x) - \frac{x}{2}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x) - \frac{x}{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sinh (2 x)]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sinh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sinh (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\sinh (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 2.2.2

Производная $\sinh (u)$ по $u$ равна $\cosh (u)$ .

$\frac{1}{4} (\cosh (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 2.6

Перенесем $2$ влево от $\cosh (2 x)$ .

$\frac{1}{4} (2 \cdot \cosh (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 2.7

Объединим $2$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} \cosh (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 2.8

Объединим $\frac{2}{4}$ и $\cosh (2 x)$ .

$\frac{2 \cosh (2 x)}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 2.9

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cosh (2 x)$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x))}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cosh (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cosh (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\cosh (2 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cosh (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\cosh (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\cosh (2 x)}{2} - \frac{1}{2}$