Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{9} \cdot \cot (3 x - 1)$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{9}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{9} \cdot \cot (3 x - 1)$ по $x$ равна $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\cot (3 x - 1)]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\cot (3 x - 1)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = 3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x - 1$ .

$\frac{1}{9} (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Этап 2.2

Производная $\cot (u)$ по $u$ равна $- \csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{9} (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 1$ .

$\frac{1}{9} (- \csc^{2} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{9}$ и $\csc^{2} (3 x - 1)$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9} (3 + 0)$

Этап 3.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $3$ и $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9} \cdot 3$

Этап 3.7.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9}$

Этап 3.7.3

Объединим $- 3$ и $\frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9}$ .

$\frac{- 3 \csc^{2} (3 x - 1)}{9}$

Этап 3.7.4

Сократим общий множитель $- 3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 \csc^{2} (3 x - 1)$ .

$\frac{3 (- \csc^{2} (3 x - 1))}{9}$

Этап 3.7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 (- \csc^{2} (3 x - 1))}{3 (3)}$

Этап 3.7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- \csc^{2} (3 x - 1))}{3 \cdot 3}$

Этап 3.7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \csc^{2} (3 x - 1)}{3}$

Этап 3.7.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{3}$