Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{6} \cdot {(9 x + 9)}^{3}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{6} \cdot {(9 x + 9)}^{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(9 x + 9)}^{3}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(9 x + 9)}^{3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 9 x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 x + 9$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{6} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 x + 9$ .

$\frac{1}{6} (3 {(9 x + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{6} ({(9 x + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Этап 3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим ${(9 x + 9)}^{2}$ и $\frac{3}{6}$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2} \cdot 3}{6} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Этап 3.2.2

Перенесем $3$ влево от ${(9 x + 9)}^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(9 x + 9)}^{2}}{6} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(9 x + 9)}^{2}$ .

$\frac{3 ({(9 x + 9)}^{2})}{6} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Этап 3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 {(9 x + 9)}^{2}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Этап 3.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 {(9 x + 9)}^{2}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Этап 3.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $9 x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 3.4

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 3.6

Умножим $9$ на $1$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 3.7

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 + 0)$

Этап 3.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Добавим $9$ и $0$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} \cdot 9$

Этап 3.8.2

Объединим $\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2}$ и $9$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2} \cdot 9}{2}$

Этап 3.8.3

Перенесем $9$ влево от ${(9 x + 9)}^{2}$ .

$\frac{9 \cdot {(9 x + 9)}^{2}}{2}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(9 x + 9)}^{2}$ в виде $(9 x + 9) (9 x + 9)$ .

$\frac{9 ((9 x + 9) (9 x + 9))}{2}$

Этап 4.2

Развернем $(9 x + 9) (9 x + 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 (9 x (9 x + 9) + 9 (9 x + 9))}{2}$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 (9 x (9 x) + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x + 9))}{2}$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 (9 x (9 x) + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Этап 4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{9 (9 \cdot 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{9 (9 \cdot 9 (x \cdot x) + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{9 (9 \cdot 9 x^{2} + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Этап 4.3.1.3

Умножим $9$ на $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Этап 4.3.1.4

Умножим $9$ на $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 81 x + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Этап 4.3.1.5

Умножим $9$ на $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 81 x + 81 x + 9 \cdot 9)}{2}$

Этап 4.3.1.6

Умножим $9$ на $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 81 x + 81 x + 81)}{2}$

Этап 4.3.2

Добавим $81 x$ и $81 x$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 162 x + 81)}{2}$

Этап 4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 (81 x^{2}) + 9 (162 x) + 9 \cdot 81}{2}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $81$ на $9$ .

$\frac{729 x^{2} + 9 (162 x) + 9 \cdot 81}{2}$

Этап 4.5.2

Умножим $162$ на $9$ .

$\frac{729 x^{2} + 1458 x + 9 \cdot 81}{2}$

Этап 4.5.3

Умножим $9$ на $81$ .

$\frac{729 x^{2} + 1458 x + 729}{2}$