Математический анализ Примеры

$y = \frac{3 x - 4}{2 x^{2} - 5 x + 7}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x - 4$ и $g (x) = 2 x^{2} - 5 x + 7$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Перенесем $3$ влево от $2 x^{2} - 5 x + 7$ .

$\frac{3 \cdot (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 5 x + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 2.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 2.10

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 2.11

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 2.13

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5 + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 2.14

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5 + 0)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 2.15

Добавим $4 x - 5$ и $0$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (- 5 x) + 3 \cdot 7 - (3 x - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (- 5 x) + 3 \cdot 7 + (- (3 x) - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 (- 5 x) + 3 \cdot 7 + (- (3 x) - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $- 5$ на $3$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 3 \cdot 7 + (- (3 x) - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Умножим $3$ на $7$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 + (- (3 x) - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 + (- 3 x - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 + (- 3 x + 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.3.1.5

Развернем $(- 3 x + 4) (4 x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 x (4 x - 5) + 4 (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.3.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 x (4 x) - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.3.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 x (4 x) - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.3.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 \cdot 4 x \cdot x - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.3.1.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 \cdot 4 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.3.1.6.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.3.1.6.1.3

Умножим $- 3$ на $4$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.3.1.6.1.4

Умножим $- 5$ на $- 3$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} + 15 x + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.3.1.6.1.5

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} + 15 x + 16 x + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.3.1.6.1.6

Умножим $4$ на $- 5$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} + 15 x + 16 x - 20}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.3.1.6.2

Добавим $15 x$ и $16 x$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} + 31 x - 20}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Вычтем $12 x^{2}$ из $6 x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2} - 15 x + 21 + 31 x - 20}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Добавим $- 15 x$ и $31 x$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 16 x + 21 - 20}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Вычтем $20$ из $21$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 16 x + 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 6 x^{2}$ .

$\frac{- (6 x^{2}) + 16 x + 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $16 x$ .

$\frac{- (6 x^{2}) - (- 16 x) + 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (6 x^{2}) - (- 16 x)$ .

$\frac{- (6 x^{2} - 16 x) + 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.7

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (6 x^{2} - 16 x) - 1 (- 1)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (6 x^{2} - 16 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (6 x^{2} - 16 x - 1)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.9

Перепишем $- (6 x^{2} - 16 x - 1)$ в виде $- 1 (6 x^{2} - 16 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (6 x^{2} - 16 x - 1)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Этап 3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6 x^{2} - 16 x - 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$