Математический анализ Примеры

$y = \frac{4 - 3 x}{3 x^{2} + x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 4 - 3 x$ и $g (x) = 3 x^{2} + x$ .

$\frac{(3 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [4 - 3 x] - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(3 x^{2} + x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(3 x^{2} + x) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(3 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [- 3 x] - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x^{2} + x) (- 3 \frac{d}{d x} [x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(3 x^{2} + x) (- 3 \cdot 1) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{(3 x^{2} + x) \cdot - 3 - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Перенесем $- 3$ влево от $3 x^{2} + x$ .

$\frac{- 3 \cdot (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $3 x^{2} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2.8

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2.10

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (6 x + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 (3 x^{2}) - 3 x - (4 - 3 x) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 (3 x^{2}) - 3 x + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x + (- 4 - (- 3 x)) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x + (- 4 + 3 x) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Развернем $(- 4 + 3 x) (6 x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 4 (6 x + 1) + 3 x (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 4 (6 x) - 4 \cdot 1 + 3 x (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 4 (6 x) - 4 \cdot 1 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1.1

Умножим $6$ на $- 4$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 \cdot 1 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 \cdot 6 x \cdot x + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 \cdot 6 (x \cdot x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 \cdot 6 x^{2} + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.1.5

Умножим $3$ на $6$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 18 x^{2} + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.1.6

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 18 x^{2} + 3 x}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.2

Добавим $- 24 x$ и $3 x$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 21 x - 4 + 18 x^{2}}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Добавим $- 9 x^{2}$ и $18 x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} - 3 x - 21 x - 4}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Вычтем $21 x$ из $- 3 x$ .

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x) + x)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x) + x^{1})}^{2}}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x) + x \cdot 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x) + x \cdot 1$ .

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Этап 3.4.2

Применим правило умножения к $x (3 x + 1)$ .

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$