Математический анализ Примеры

$y = \frac{4 \ln (x + 6)}{x^{2}}$

Этап 1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 \ln (x + 6)}{x^{2}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 6)}{x^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 6)}{x^{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (x + 6)$ и $g (x) = x^{2}$ .

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 6)] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 6)] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 6)] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 6$ .

$4 \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$4 \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 6$ .

$4 \frac{x^{2} (\frac{1}{x + 6} \frac{d}{d x} [x + 6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{x + 6}$ и $x^{2}$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} \frac{d}{d x} [x + 6] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 5.2

По правилу суммы производная $x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} (1 + \frac{d}{d x} [6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 5.4

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} (1 + 0) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 5.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} \cdot 1 - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 5.5.2

Умножим $\frac{x^{2}}{x + 6}$ на $1$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 6

Умножим $\frac{\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ на $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$4 (\frac{x + 6}{x + 6} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}})$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим.

$4 \frac{(x + 6) (\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \frac{(x + 6) \frac{x^{2}}{x + 6} + (x + 6) (- \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{(x + 6) \frac{x^{2}}{x + 6} + (x + 6) (- \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

Этап 7.3.2

Перепишем это выражение.

$4 \frac{x^{2} + (x + 6) (- \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + (x + 6) (- \ln (x + 6) (2 x))}{(x + 6) x^{4}}$

Этап 9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} + (x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x)}{(x + 6) x^{4}}$

Этап 9.2

Объединим $4$ и $\frac{x^{2} + (x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x)}{(x + 6) x^{4}}$ .

$\frac{4 (x^{2} + (x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x))}{(x + 6) x^{4}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x))}{(x + 6) x^{4}}$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1

Упростим $- 2 \ln (x + 6)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 6) (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} + 4 (x (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x) + 6 (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) + 6 (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.3.1.4

Умножим $6 (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) - 6 (\ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.3.1.4.2

Изменим порядок $\ln ({(x + 6)}^{2})$ и $- 6$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) - 6 \cdot \ln ({(x + 6)}^{2}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.3.1.4.3

Упростим $- 6 \cdot \ln ({(x + 6)}^{2})$ путем переноса $6$ под логарифм.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) - \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.3.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.5.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.5.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- (x \cdot x) \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.3.1.5.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.3.1.5.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 6)}^{2})}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({(x + 6)}^{2 \cdot 6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.3.1.5.2.2

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2})) + 4 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.3.1.7

Умножим $4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.7.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 4 (x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2})) + 4 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.3.1.7.2

Упростим $- 4 \ln ({(x + 6)}^{2})$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4})) + 4 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.3.1.8

Умножим $4 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.8.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4})) - 4 (\ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.3.1.8.2

Изменим порядок $\ln ({(x + 6)}^{12})$ и $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4})) - 4 \cdot \ln ({(x + 6)}^{12}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.3.1.8.3

Упростим $- 4 \cdot \ln ({(x + 6)}^{12})$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4})) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.9.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4}) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.3.1.9.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 6)}^{2})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.9.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2 \cdot 4}) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.3.1.9.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.3.1.9.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 6)}^{12})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.9.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{12 \cdot 4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.3.1.9.3.2

Умножим $12$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.3.2

Изменим порядок множителей в $4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}) x$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.4

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{1} x^{4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{1 + 4} + 6 x^{4}}$

Этап 10.4.2

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Этап 10.5

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{x (4 x) - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Этап 10.5.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8})$ .

$\frac{x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 6)}^{8})) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Этап 10.5.3

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln ({(x + 6)}^{48})$ .

$\frac{x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 6)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Этап 10.5.4

Вынесем множитель $x$ из $x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 6)}^{8}))$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Этап 10.5.5

Вынесем множитель $x$ из $x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 6)}^{48}))$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Этап 10.6

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{5} + 6 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{5}$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{4} x + 6 x^{4}}$

Этап 10.6.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $6 x^{4}$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{4} x + x^{4} \cdot 6}$

Этап 10.6.3

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{4} x + x^{4} \cdot 6$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{4} (x + 6)}$

Этап 10.7

Развернем $\ln ({(x + 6)}^{8})$ , вынося $8$ из логарифма.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 6)) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{4} (x + 6)}$

Этап 10.8

Развернем $\ln ({(x + 6)}^{48})$ , вынося $48$ из логарифма.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 6)) - (48 \ln (x + 6)))}{x^{4} (x + 6)}$

Этап 10.9

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4} (x + 6)$ .

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 6)) - (48 \ln (x + 6)))}{x (x^{3} (x + 6))}$

Этап 10.9.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 6)) - (48 \ln (x + 6)))}{x (x^{3} (x + 6))}$

Этап 10.9.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x - x (8 \ln (x + 6)) - (48 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$

Этап 10.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.1

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{4 x - 8 x \ln (x + 6) - 1 \cdot 48 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

Этап 10.10.2

Умножим $- 1$ на $48$ .

$\frac{4 x - 8 x \ln (x + 6) - 48 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

Этап 10.10.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x - 8 x \ln (x + 6) - 48 \ln (x + 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{4 (x) - 8 x \ln (x + 6) - 48 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

Этап 10.10.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 8 x \ln (x + 6)$ .

$\frac{4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 6)) - 48 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

Этап 10.10.3.3

Вынесем множитель $4$ из $- 48 \ln (x + 6)$ .

$\frac{4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 6)) + 4 (- 12 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$

Этап 10.10.3.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 6))$ .

$\frac{4 (x - 2 x \ln (x + 6)) + 4 (- 12 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$

Этап 10.10.3.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (x - 2 x \ln (x + 6)) + 4 (- 12 \ln (x + 6))$ .

$\frac{4 (x - 2 x \ln (x + 6) - 12 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$