Математический анализ Примеры

$y = \frac{42}{\sqrt{49 + x^{2}}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{49 + x^{2}}$ в виде ${(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2

Поскольку $42$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $42 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$42 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем $\frac{1}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${({(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$42 \frac{d}{d x} [{({(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 1.3.2

Перемножим экспоненты в ${({(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$42 \frac{d}{d x} [{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Этап 1.3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$42 \frac{d}{d x} [{(49 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

Этап 1.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$42 \frac{d}{d x} [{(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ и $g (x) = 49 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $49 + x^{2}$ .

$42 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$42 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $49 + x^{2}$ .

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Этап 8

Объединим ${(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$42 (- \frac{{(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем ${(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$42 (- \frac{1}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Этап 9.2

Умножим $- 1$ на $42$ .

$- 42 (\frac{1}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ и $- 42$ .

$\frac{- 42}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Этап 11

Вынесем множитель $2$ из $- 42$ .

$\frac{2 \cdot - 21}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Этап 12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 21}{2 ({(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Этап 12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 21}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Этап 12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Этап 13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Этап 14

По правилу суммы производная $49 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 15

Поскольку $49$ является константой относительно $x$ , производная $49$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 16

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Этап 18

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Этап 18.2

Объединим $- 2$ и $\frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Этап 18.3

Умножим $- 2$ на $21$ .

$\frac{- 42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Этап 18.4

Объединим $\frac{- 42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{- 42 x}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 18.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{42 x}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$