Математический анализ Примеры

$y = \frac{2}{3 \sqrt{x}} + \frac{1}{4 x^{2}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{2}{3 \sqrt{x}} + \frac{1}{4 x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 \sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 \sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 \sqrt{x}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{2}{3} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2}{3} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.13

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $x^{- 1}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.14

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.14.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.14.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.14.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.14.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.14.5.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.14.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.15

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.16

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{2}{3 (2 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.17

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{2}{6 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.18

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 (1)}{6 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.19

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.19.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{2 (1)}{2 (3 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.19.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 2.19.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{4 x^{2}}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Этап 3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- x^{- 4} (2 x))$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- 2 x^{- 4} x)$

Этап 3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Этап 3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- 2 x^{1 - 4})$

Этап 3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- 2 x^{- 3})$

Этап 3.10

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2}{4} x^{- 3}$

Этап 3.11

Объединим $\frac{- 2}{4}$ и $x^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 x^{- 3}}{4}$

Этап 3.12

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2}{4 x^{3}}$

Этап 3.13

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 (- 1)}{4 x^{3}}$

Этап 3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 x^{3})}$

Этап 3.13.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x^{3})}$

Этап 3.13.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 1}{2 x^{3}}$

Этап 3.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 x^{3}}$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{2 x^{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$