Математический анализ Примеры

$y = 2^{x} \csc (2 x) + \ln (\cos (x))$

Этап 1

По правилу суммы производная $2^{x} \csc (2 x) + \ln (\cos (x))$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2^{x} \csc (2 x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$ .

$\frac{d}{d x} [2^{x} \csc (2 x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2^{x} \csc (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 2^{x}$ и $g (x) = \csc (2 x)$ .

$2^{x} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \csc (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$2^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Этап 2.2.2

Производная $\csc (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$2^{x} (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$2^{x} (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Этап 2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2^{x} (- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2^{x} (- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \cdot 1)) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $2$ .

$2^{x} (- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \cdot 1)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $1$ .

$2^{x} (- \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 2) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (x)$ .

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (x)$ .

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Этап 3.3

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \sec (x) (- \sin (x))$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$- 2 \cdot 2^{x} \cot (2 x) \csc (2 x) + 2^{x} \csc (2 x) \ln (2) - \sec (x) \sin (x)$