Математический анализ Примеры

$y = \frac{3 + 4 x - 6 \sqrt{x}}{x}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}] - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.6

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{x (4 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.7

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (4 - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (4 - 6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 10

Объединим $- 6$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x (4 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 11

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (4 + \frac{- 6}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 12

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{x (4 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (4 + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (4 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x (4 + \frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x (4 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x (4 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 16

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x (4 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 4 + x (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Этап 17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 4 + x (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Этап 17.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1.1

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\frac{4 \cdot x + x (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Этап 17.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 x - x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Этап 17.3.1.3

Объединим $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{4 x - \frac{3 x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Этап 17.3.1.4

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{4 x - (3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Этап 17.3.1.5

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1.5.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x - (3 (x^{- \frac{1}{2}} x)) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Этап 17.3.1.5.2

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 x - (3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Этап 17.3.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x - (3 x^{- \frac{1}{2} + 1}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Этап 17.3.1.5.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{4 x - (3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Этап 17.3.1.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 x - (3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Этап 17.3.1.5.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{4 x - (3 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Этап 17.3.1.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Этап 17.3.1.7

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Этап 17.3.1.8

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 4 x - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Этап 17.3.1.9

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$\frac{4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 4 x + 6 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Этап 17.3.2

Объединим противоположные члены в $4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 4 x + 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.2.1

Вычтем $4 x$ из $4 x$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 + 0 + 6 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Этап 17.3.2.2

Добавим $- 3 x^{\frac{1}{2}} - 3$ и $0$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 + 6 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Этап 17.3.3

Добавим $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ и $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - 3}{x^{2}}$

Этап 17.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{\frac{1}{2}} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (x^{\frac{1}{2}}) - 3}{x^{2}}$

Этап 17.4.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{3 (x^{\frac{1}{2}}) + 3 (- 1)}{x^{2}}$

Этап 17.4.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{\frac{1}{2}}) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{x^{2}}$