Математический анализ Примеры

$y = \frac{2 x \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x \sin (x)}{1 + \cos (x)}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x \sin (x)}{1 + \cos (x)}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x \sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x \sin (x)$ и $g (x) = 1 + \cos (x)$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 5.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 5.3

По правилу суммы производная $1 + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 5.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 5.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 7.2

Умножим $x$ на $1$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 8

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 9

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 11

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 12

Объединим $2$ и $\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{2 ((1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 ((1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 13.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Развернем $(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (1 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x))) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 13.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x))) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 13.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 13.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.2.1

Умножим $x \cos (x)$ на $1$ .

$\frac{2 (x \cos (x) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 13.2.1.2.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{2 (x \cos (x) + \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 13.2.1.2.3

Умножим $\cos (x) (x \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.2.3.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 13.2.1.2.3.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 13.2.1.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (x \cos (x) + \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 13.2.1.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 (x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 13.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 (x \cos^{2} (x)) + 2 (\cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 13.2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.4.1

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x \cos^{2} (x) + \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 13.2.1.4.2

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x \cos^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 13.2.1.4.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x \cos^{2} (x) + \sin (2 x) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x \cos^{2} (x) + \sin (2 x) + 2 x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 13.2.2

Перенесем $2 x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x \cos^{2} (x) + 2 x \sin^{2} (x) + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 13.2.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x (\cos^{2} (x)) + 2 x \sin^{2} (x) + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 13.2.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x (\cos^{2} (x)) + 2 x (\sin^{2} (x)) + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 13.2.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (\cos^{2} (x)) + 2 x (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 13.2.6

Переставляем члены.

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 13.2.7

Применим формулу Пифагора.

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x \cdot 1 + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 13.2.8

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 13.3

Изменим порядок членов.

$\frac{2 x \cos (x) + 2 x + 2 \sin (x) + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$