Математический анализ Примеры

$y = \frac{3 x^{5} + 6}{x^{3}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x^{5} + 6$ и $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} + 6] - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} + 6] - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} + 6] - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $3 x^{5} + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{5}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{x^{3} (3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.5

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4} + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.6

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4} + 0) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.7

Добавим $15 x^{4}$ и $0$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4}) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3

Умножим $x^{3}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} x^{3} \cdot 15 - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{4 + 3} \cdot 15 - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.3

Добавим $4$ и $3$ .

$\frac{x^{7} \cdot 15 - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4

Перенесем $15$ влево от $x^{7}$ .

$\frac{15 \cdot x^{7} - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{15 x^{7} - (3 x^{5} + 6) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 x^{5} + 6) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{15 x^{7} + (- 3 (3 x^{5}) - 3 \cdot 6) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 x^{5}) x^{2} - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

Этап 7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Умножим $x^{5}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 (x^{2} x^{5})) - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

Этап 7.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 x^{2 + 5}) - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

Этап 7.3.1.1.3

Добавим $2$ и $5$ .

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 x^{7}) - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

Этап 7.3.1.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\frac{15 x^{7} - 9 x^{7} - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

Этап 7.3.1.3

Умножим $- 3$ на $6$ .

$\frac{15 x^{7} - 9 x^{7} - 18 x^{2}}{x^{6}}$

Этап 7.3.2

Вычтем $9 x^{7}$ из $15 x^{7}$ .

$\frac{6 x^{7} - 18 x^{2}}{x^{6}}$

Этап 7.4

Вынесем множитель $6 x^{2}$ из $6 x^{7} - 18 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $6 x^{2}$ из $6 x^{7}$ .

$\frac{6 x^{2} (x^{5}) - 18 x^{2}}{x^{6}}$

Этап 7.4.2

Вынесем множитель $6 x^{2}$ из $- 18 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} (x^{5}) + 6 x^{2} (- 3)}{x^{6}}$

Этап 7.4.3

Вынесем множитель $6 x^{2}$ из $6 x^{2} (x^{5}) + 6 x^{2} (- 3)$ .

$\frac{6 x^{2} (x^{5} - 3)}{x^{6}}$

Этап 7.5

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $6 x^{2} (x^{5} - 3)$ .

$\frac{x^{2} (6 (x^{5} - 3))}{x^{6}}$

Этап 7.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (6 (x^{5} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 7.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (6 (x^{5} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 7.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6 (x^{5} - 3)}{x^{4}}$