Математический анализ Примеры

$y = {(\csc (x) + \cot (x))}^{- 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = \csc (x) + \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\csc (x) + \cot (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\csc (x) + \cot (x)$ .

$- {(\csc (x) + \cot (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Этап 2

По правилу суммы производная $\csc (x) + \cot (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$- {(\csc (x) + \cot (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 3

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- {(\csc (x) + \cot (x))}^{- 2} (- \csc (x) \cot (x) + \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 4

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$- {(\csc (x) + \cot (x))}^{- 2} (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x))$