Математический анализ Примеры

$y = {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{7}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{7}$ и $g (x) = \sin (x) + 5 \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x) + 5 \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + 5 \cos (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [\sin (x) + 5 \cos (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x) + 5 \cos (x)$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} \frac{d}{d x} [\sin (x) + 5 \cos (x)]$

Этап 2

По правилу суммы производная $\sin (x) + 5 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)])$

Этап 3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)])$

Этап 4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \cos (x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\cos (x) + 5 \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 5

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\cos (x) + 5 (- \sin (x)))$

Этап 6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\cos (x) - 5 \sin (x))$