Математический анализ Примеры

$y = {(x + \sqrt{x})}^{5}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{5}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x + x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 10

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$