Математический анализ Примеры

$y = {(x + (x + {(\sin^{2} (x))}^{5}))}^{3}$

Этап 1

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перемножим экспоненты в ${(\sin^{2} (x))}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + x + {\sin (x)}^{2 \cdot 5})}^{3}]$

Этап 1.1.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + x + \sin^{10} (x))}^{3}]$

Этап 1.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x + \sin^{10} (x))}^{3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 2 x + \sin^{10} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x + \sin^{10} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + \sin^{10} (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + \sin^{10} (x)]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x + \sin^{10} (x)$ .

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + \sin^{10} (x)]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 x + \sin^{10} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{10} (x)]$ .

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{10} (x)])$

Этап 3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin^{10} (x)])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin^{10} (x)])$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [\sin^{10} (x)])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (x)$ .

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{10}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 10$ .

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 + 10 {u_{2}}^{9} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (x)$ .

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 + 10 \sin^{9} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 5

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 + 10 \sin^{9} (x) \cos (x))$