Математический анализ Примеры

$y = \frac{e^{2 x}}{1 + e^{- 2 x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{2 x}$ и $g (x) = 1 + e^{- 2 x}$ .

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 3.3.2

Перенесем $2$ влево от $(1 + e^{- 2 x}) e^{2 x}$ .

$\frac{2 \cdot ((1 + e^{- 2 x}) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $1 + e^{- 2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 3.6

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- 2 x$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 2 x$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{- 2 x + 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{0} \frac{d}{d x} [- 2 x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [- 2 x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 6.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - \frac{d}{d x} [- 2 x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 7

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - (- 2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 8

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} + 2 \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} + 2 \cdot 1}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 10

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 e^{- 2 x}) e^{2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 1 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} e^{2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 11.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} e^{2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 11.3.1.2

Умножим $e^{- 2 x}$ на $e^{2 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.2.1

Перенесем $e^{2 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 (e^{2 x} e^{- 2 x}) + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 11.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{2 x - 2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 11.3.1.2.3

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{0} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 11.3.1.3

Упростим $2 e^{0}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 11.3.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 4}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 11.4

Вынесем множитель $2$ из $2 e^{2 x} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 e^{2 x}$ .

$\frac{2 (e^{2 x}) + 4}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 11.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 \cdot 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Этап 11.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 e^{2 x} + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (e^{2 x} + 2)}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$