Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{2} + 9}{x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} + 9$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [9]) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9)}{x^{2}}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

Этап 9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 9}{x^{2}}$

Этап 9.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2}}$

Этап 9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{x^{2}}$

Этап 9.3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}$