Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{2}}{x^{3} - 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{3} - 1$ .

$\frac{(x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{3} - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{3} - 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{3} - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $x^{3} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - x^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - x^{2} (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - x^{2} (3 x^{2})}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - 3 x^{2} x^{2}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - 3 (x^{2} x^{2})}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - 3 x^{2 + 2}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x^{3} + 2 \cdot - 1) x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{3} x + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{3}) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 4.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{3}) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 4.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 3} + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 4.3.1.1.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{2 x^{4} + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{4} - 2 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Вычтем $3 x^{4}$ из $2 x^{4}$ .

$\frac{- x^{4} - 2 x}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$